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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 $8gtQ'  
^1%}xX h  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. m(5sRNJ9G[  
x&$eU:kk  
　　1、三角函数本质： kaX(%9;   
dt>{;|TG  
　　三角函数的本质来源于定义 9 Z@NFic^c  
t6}t@~  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 84>vz0  
J+C^- v?  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 U{^ |6(FU7  
XJtoiR=  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： dZF*'$tW  
jG&tA  
　　推导： gON_yk  
}mxEjz6  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 hjm*szTl  
Fg .*>.U  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) +.=6'bUWV  
&y)'"v+  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) '-Y9aV"o  
6!?} gF.y  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 );R jv2  
zwWXb4A  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） e mqS'R\v  
wj;]k_(Z`  
　　[1] q[OINn,ev  
iI/$GfA  
　　两角和公式 Ipv,K-7  
K s%0T+(O  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB }Pa0<ZCl  
ciWi\pC@vg  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  J/n%G#~  
4F@+s!{&a  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB #/M`;s)6  
Mh}4lU448  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB `kR-a^Zb}  
8 5&)g 5  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ]aPJ?dy   
?eSqjHmI  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Z2 "Z,8,  
a0e7`3'VM  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ycaSS&}ay  
cYo? &  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) -V%<}0  
#*2Pao  
倍角公式 x|IgS/T-|  
6Or]AV^uE  
　　Sin2A=2SinA•CosA :4mWspAnE  
x7+}xE?:  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ;x+m?m  
2B: Z!:H  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） jvAM]8}  
ca ,CR R  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） \bxa *i5  
?z`:`s  
三倍角公式 tpA3y;FYC  
tN 'ZTh  
　　 BH+{   
~WW>7'x  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) : 3kB4$  
Io,LNF:  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Kx"y2i *u  
l:RGUCkHk  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Y"R{d#?QJ  
n^T& Jf  
三倍角公式推导 + 8jpC  
<|H,Ki8hg  
　　sin3a XS.Rfzs  
M =o/D`^  
　　=sin(2a+a) jP|[itf ?  
Ki\;t$?  
　　=sin2acosa+cos2asina G?AFL6k  
C5VN]Vg'S  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 4Z519Ua N  
rGroJ{~  
　　=3sina-4sin³a A*A {+t('  
hF-3G!X  
　　cos3a C.  
fT4q+Z8O  
　　=cos(2a+a) it`nClZ?  
=L 4] *IR  
　　=cos2acosa-sin2asina Wk ihGVEE  
$-j '?  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa _I0+Lo  
OmVHZ^'`  
　　=4cos³a-3cosa NMpm.V_Ct  
4$ ^h="KD  
　　sin3a=3sina-4sin³a +V-HW+I6j#  
1yEk@n  
　　=4sina(3/4-sin²a) |9XtfZ;oaU  
N ~k/W++  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] L]Z(vDo  
LA29yG 5  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Y1#vGbw9  
}-kzJA=r  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) h';B;  
lBrGN36g  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] uH(uz("R  
}fikI"d {  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) n@:P[[rk=  
9\w+3D t  
　　cos3a=4cos³a-3cosa .%+~<X5  
Of""4 !  
　　=4cosa(cos²a-3/4) i7c[ufcc  
VrtKYl-  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] <|=rQ).*AH  
u7}Fk>:>e  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) *,{TN! %  
B b/`jgl]  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 0D,-jl/  
5#I.<z<D3  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} @@i $2Ry  
A^@\8si-  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) sE}a+s'dq  
:+L:M2P  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] |R+}ir^  
5 l} E+&  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]  F,C!?W  
8d$b~  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) q[Pj,1  
[:`v\1  
　　上述两式相比可得 36$)tV@e  
- kXZZ  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) $:i j)PYe  
LT}Fr_gU  
半角公式 +u-r$1&A  
[q1c.$h  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Zxt_3!Pt$  
R}Zz,+  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. @3 ~^Kj( Z  
y qm<B~,  
和差化积 0_GODb  
fldi1X6  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $ VQ=_  
-xiQ3&{g%  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] P<3(FMp q  
lQq{Y}8-  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1a.z'2  
~)ZJ ,%E#  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] '" *C%rwd  
4vga3cg  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) {@z^bQ"  
^wya5?Jp  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 1aX6sUdr  
iO4WF6u-  
积化和差 "&OWL  
G*;5&  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ,t&4;[qL  
;i=jU'  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] t"rImP$  
%E0p  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] .s+*>  
;po%\4[  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Jg~|;  
[>d} aw  
诱导公式 q^'Oyc)ZN  
]+e6rZK(tA  
　　sin(-α) = -sinα *#ERHI/!H  
I[bE;   
　　cos(-α) = cosα Evt(O] [  
I:6 #]n<  
　　sin(π/2-α) = cosα gamplt  
=~pX57i6{  
　　cos(π/2-α) = sinα _(vokZ:  
fd.(n.=  
　　sin(π/2+α) = cosα  vRO`%7c  
oe{S57;#]#  
　　cos(π/2+α) = -sinα r%pEP!0\  
=ijwzd! u  
　　sin(π-α) = sinα `'K^v{V[+  
Tz+=N;&  
　　cos(π-α) = -cosα EU}6M*Kr`:  
%'dwKXI /q  
　　sin(π+α) = -sinα #UUU1G  
pMo)lj?  
　　cos(π+α) = -cosα 0AY|-UUt)  
qR1L Ebzk  
　　tanA= sinA/cosA YE)Xlk Q  
.w QWZ T  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 9"It|:nw  
6MSYKE2x  
　　tan（π/2－α）＝cotα 6XDSwo~|l~  
+TIIng   
　　tan（π－α）＝－tanα 5"bD1D!0  
0 f#~|N  
　　tan（π＋α）＝tanα =w.iGNN^  
'>>Vmj"  
万能公式 "J~%aGWX9  
-8Ra]U5zY  
　　 ac~js_sy!  
j| UC }cq  
其它公式 Moyd(e1  
bta;"/w^  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Sib`vnWN  
`y8#xJ&4o9  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 iLd, b(=(  
't7R/i  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Q'TzUa f  
?^'*u+W?  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 v~o,BJ+  
}  s@  
　　对于任意非直角三角形,总有 i il<~E~  
\ow--<|,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC qG>|5zW1  
-ZL\c_eEb  
　　证: zt[x(7JG  
5^<+:v [  
　　A+B=π-C Ec&-y-h{  
=j,+aqC  
　　tan(A+B)=tan(π-C) }/Qsttz  
iTm]$$F  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) `GY h~o(  
^XDwUT#  
　　整理可得 n[R={0:  
0iI 6*Q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9Psf0c  
d/1K51A  
　　得证 !PR]w}a[  
aK`J!Ia^  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 \/7{ {;,u  
q|G}Nq  
其他非重点三角函数 Zd cf}  
c*h$]/,  
　　csc(a) = 1/sin(a) &vo.Z4A  
$mm;L#1w~  
　　sec(a) = 1/cos(a) 7 JzG`  
/j}mLo>#  
　　 8IH#cyKhx  
-lH7;`fmg  
双曲函数 o&F?".P  
Q62~q;l13  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 5@$GUnGDr  
3CgzJodB  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 kx^m,w-@  
_` QK8\s  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) N+_ Bt1'  
} xYL5  
　　公式一： F." (z  
=)$j TvCg  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 1 </S  
Fl?b}  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ]9!#'j>  
`;X`0t  
　　cos（2kπ＋α）= cosα /w'zAN H<  
iU"h|:H'-  
　　tan（kπ＋α）= tanα :vbgh}9  
:!bB'G  
　　cot（kπ＋α）= cotα Zw*\8 S  
Da{%fEx  
　　公式二： F|Sz{[Ngz  
J'bBIW  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： )9\`-%f  
k7 p$Im3u  
　　sin（π＋α）= -sinα D-K<f./I  
ot]' \11  
　　cos（π＋α）= -cosα :pD}I%K?~q  
7yGL\<Z  
　　tan（π＋α）= tanα B J5,mw  
;D-OMRO`  
　　cot（π＋α）= cotα o Lj,-  
8d>7V"  
　　公式三： _T9Gk;r8  
4opZ,_>  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： +$t0)v2X  
c.a3G<MBx  
　　sin（-α）= -sinα ho Uh+^/1  
U;b>>+?^  
　　cos（-α）= cosα 'wkqY# 5  
gY1q@bto.+  
　　tan（-α）= -tanα &RUh7,r-  
GK ^3EKT1  
　　cot（-α）= -cotα *l|bRu}  
oK6p('T  
　　公式四： a 1CY-S  
f/L X   
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： S;(E  
|5'TsvLt!  
　　sin（π-α）= sinα Obb3X@)uUf  
D<` i>VWz  
　　cos（π-α）= -cosα ]TIhG$sUba  
MHf89~V`  
　　tan（π-α）= -tanα 8u/GGZ)R  
1_?J;"tv  
　　cot（π-α）= -cotα }I c"v>  
sX|:+,t  
　　公式五： :=HK+ H5  
pn pw9;  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Ei|a93&  
U$>u`O:,  
　　sin（2π-α）= -sinα j[dx "2  
KcNC%[)  
　　cos（2π-α）= cosα <#NzP-|!  
gP?ra4`  
　　tan（2π-α）= -tanα v1k]^l~  
mQ_hSJ.  
　　cot（2π-α）= -cotα D[?PI}  
|/O_K  
　　公式六： V-|}qJxU Z  
I^;C+R  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： } G [ }{6<  
hy@:ReZK|  
　　sin（π/2+α）= cosα 6,**X&{S2  
^xef{cl  
　　cos（π/2+α）= -sinα L.d:!h @  
h}S5)n  
　　tan（π/2+α）= -cotα DiuP7-#Os  
2PCJwIl  
　　cot（π/2+α）= -tanα '?( o AN  
 Cd -  
　　sin（π/2-α）= cosα 'h dhs6  
#Q! PBzt  
　　cos（π/2-α）= sinα \hf; _m  
kH/c 5  
　　tan（π/2-α）= cotα ;`j.V*> 3  
mHEtwc S  
　　cot（π/2-α）= tanα .4 2>}hw  
av$'/'[oR  
　　sin（3π/2+α）= -cosα < #!Llp  
J5oI?*  
　　cos（3π/2+α）= sinα qx<Zl,c  
 O/i ixm  
　　tan（3π/2+α）= -cotα "W=S p  
I_d(RHJ  
　　cot（3π/2+α）= -tanα B]GE[o: v  
~ -% k  
　　sin（3π/2-α）= -cosα b<1oN]Y  
W#p9N  
　　cos（3π/2-α）= -sinα #^R|Xn"  
pucZRlBX#  
　　tan（3π/2-α）= cotα ?.'a5~  
$4+xZOXQ  
　　cot（3π/2-α）= tanα m0o v'OP  
We'd<n/  
　　(以上k∈Z) 6[@% ~65:  
7&OZqKcw}  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 R=D D(oU o  
 %8q:&= 8  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 8OQ5tR`  
~q0rf/Ga|  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } TIu1"dx+0x  
m*s:"f<  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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