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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 X,b":|T  
!>M\d*&  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4t{V ]S $  
\&i{C(>Y!  
　　1、三角函数本质： l-A+P os/  
l3,H|dPk  
　　三角函数的本质来源于定义 ;l4Q4kD  
C)L#](&  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 z"+;,d} !X  
>lO#,#08  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 5Lnhhv=1  
DUxh/+Rn  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： -|9 TBp)  
 UEV&Q1  
　　推导： :&cs.H|>  
WU!p!9$A  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 4CBI-:p{  
/B >(E:  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) C2fY )zI  
>OS:#dj 6  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) LwW3%1  
J)@:[<4  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 [k3?yZoawy  
H at_V  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Rfkwr;M  
Yz@JIij1g  
　　[1] / Tg?cM  
vOA.meQH  
　　两角和公式 +wWYg ej t  
uK]6MQ<  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB km;2ng,  
,][o|V 52  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  '<^<*"  
O9Ww+m.  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB b H mf;|n  
"+yK3o<yU  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB hV<#=7ZDr  
G@/Us\j  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) #KV3SnTG  
6Gy.#  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) YR^R["(X7  
h\c>=V8T  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  8eD|&x0  
n(!(k  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 5`kF9Thf+  
}RXCG2sA%x  
倍角公式 a9dAL 8&Zy  
b[g>5&^Y  
　　Sin2A=2SinA•CosA }Z*T~+'  
<0%nHjKYt  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1  V' 6%{L  
Z4Q9`JdE  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） `Yzp%`[m|*  
O 5z0\  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Fwc_gO2&  
4ip8J3l0  
三倍角公式 V c 47HY  
W<p g3S.X  
　　 J b33%D\  
42$cg ioi  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) \:;}Z5  
&b?_I5[O  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) fJlRtU  
dE^71Q%?  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) BdlM #F  
29(6~7'#  
三倍角公式推导 h*Q/P'T/  
n_"U vSd  
　　sin3a ,~ 2q}  
'LtrCp~  
　　=sin(2a+a) Au7\xtG  
~0QV~S  
　　=sin2acosa+cos2asina  7<\EYG<  
[?o DJ  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina zX;MxB1>1  
`p1\:haC6  
　　=3sina-4sin³a [ d+^v1;i"  
'zPn[H|Yd;  
　　cos3a r6c,gC  
mz.[K.D6  
　　=cos(2a+a) IIO54P  
Ha3"P=6  
　　=cos2acosa-sin2asina 5cC$YpI@9K  
SV`}H*L  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 0]E)@uk  
a9Y! Y`g  
　　=4cos³a-3cosa Br 0"fS7  
@A#RK56a  
　　sin3a=3sina-4sin³a =pwmJGI@  
lUL/0QnY8  
　　=4sina(3/4-sin²a) XQ*t2|x 8  
Vx,_x!l  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] kR<"XP s  
In_#8-0o  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Xijp!|!K  
0R4@r!  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ^u4-6O  
U ;zAX=k  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] f6|HZAQ  
6@ZcUUU  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) v q<&1:J  
~)i'Z W  
　　cos3a=4cos³a-3cosa TqN_* N `  
l bI+]'{<  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ,`J2N9h  
Qz/ne9"Mv  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] qja,JIh  
?Y <~gfz  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) x&>%J!o80  
u } >R(91  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) +2 :$U/   
O4>]XY  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} YQEslRw  
iR=oVN)V`D  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ( I_i  
>Z.:)?}0K  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] yIKYL'p  
RG9P))[U  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] rC7k?cw W  
 (2tt/?  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) )8XA9  
Mz U*= !  
　　上述两式相比可得 lfIY?!  
6SC`" e7  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ) (7kK  
3}N  
半角公式 qSY|Zn&  
)->Z0ChB,  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); wajHgu0xn  
je qya9X  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. oz _k!  
#d |][[  
和差化积 hb}*7^  
A#!pQIqSt  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] }NBVfcFIz  
}( p(r#Z  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] XL|9A;_A  
(J ?gQ5  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] g+1REpGZ  
L)v\v]bl  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] [5{ }8hV=  
ze@-_$|C  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 3UCn$r+b  
~R+#l_FG6  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) $c Pi  
HX;`pV_O  
积化和差 ,]Ke26QV  
}L2wm"&  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Amb!GZ8'I  
c#?Dzf6R  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] =!"{! .;"  
:o(0zH$4f  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] G`Q mU1  
X~YZ{+e6m  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ` R+g0^  
{3X^fB# ?v  
诱导公式 s -(wM  
_w<4#Add  
　　sin(-α) = -sinα Iy&n}_xR  
T7G-@!0  
　　cos(-α) = cosα v7d.XN"8  
gQ]ceG^C  
　　sin(π/2-α) = cosα r?/H6A   
: ~:8D+Jp  
　　cos(π/2-α) = sinα L$]5,K0K  
ys#> <  
　　sin(π/2+α) = cosα v@FA+/#l)  
yf-} :9:S  
　　cos(π/2+α) = -sinα 2<mAp!|xbb  
]X$: C+[  
　　sin(π-α) = sinα in#IW;ZT  
p=uC{kUP@  
　　cos(π-α) = -cosα 7tDAlU@  
w&SNw  
　　sin(π+α) = -sinα gYf!{w~{)  
)>i n9-*&`  
　　cos(π+α) = -cosα 4H"7/*XR  
(t* ~j8  
　　tanA= sinA/cosA 9Rvdad'Q  
`tgM 89  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα J MGA7  
r?J@<4$  
　　tan（π/2－α）＝cotα LZ(Yt  
&, f)i9}sv  
　　tan（π－α）＝－tanα t, D\<OJ  
kB)j9  
　　tan（π＋α）＝tanα yOqm4;c*7  
P4lw![2  
万能公式 3 r 9I=W  
\H01an}q  
　　 }yWe73:X  
[J#yvb@:<0  
其它公式 Zgsr|o%  
k$B|f%  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 >|Leed =  
WklH RC=  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 i}$HCs.vH  
`i'~_V_70  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 . rx`e$  
w* Fek]g  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ffMjEt_J  
2:vl!P  
　　对于任意非直角三角形,总有  ;@NTN@  
)RH*U@  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^qM@DW  
-qg_E 5PN  
　　证: rJ^^'RUn  
IHvi)v*K  
　　A+B=π-C L+zv$e"n  
0k- ;  
　　tan(A+B)=tan(π-C) $dl.s+1 #  
^$#Ogq"{z  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) OU 9lF>  
8+P97)  
　　整理可得 Cz:cC4 U  
F62VD,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC U-'|IC;]  
PC;k|U=7)  
　　得证 @Kg$.ud_  
$cY)p|-0M  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 H$,A-W`a  
&MX/> +N  
其他非重点三角函数 &%h"C'P!  
:rI]`p  
　　csc(a) = 1/sin(a) `9` m@+a%  
on>+Q kd5)  
　　sec(a) = 1/cos(a) ^Fg {  
-Cu^m}(E%  
　　 ;enNy 7;KL  
%x7!bLF  
双曲函数 aedOVLk>x  
d{v(x^yO  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 -v QJ,  
27H$o6)4.V  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 D"]Z'Y8-|  
+'"A6#t"2  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) }U/$6] 0dO  
ZH|["wV  
　　公式一： m3["`@ z  
D\F+8O?Q  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 6#<Ue/  
MZr]cBa|#  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 0kC;QT  
&Y Q6  
　　cos（2kπ＋α）= cosα :[iO<-  
nZ)!"8tDA  
　　tan（kπ＋α）= tanα +yS7fq$  
J9NS%&s1  
　　cot（kπ＋α）= cotα T]%NzZkQn  
20C<414z  
　　公式二： qo~(w%  
]F*vSo;  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： =Frr 2z  
iD!h!>/  
　　sin（π＋α）= -sinα Xb]E&d  
b+2og:  
　　cos（π＋α）= -cosα H+[e&>|  
Z[>iL;NBn  
　　tan（π＋α）= tanα N@|N(Os6  
[mve@W  
　　cot（π＋α）= cotα n-mK.H7?  
_IZ7W-LM/  
　　公式三： SQgZyKii&  
Bt2\>B{@"  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： (^H5X  
r6y$Lc   
　　sin（-α）= -sinα @M?j{cI3  
S/1RW i(  
　　cos（-α）= cosα tkL8D*`?Vk  
Y( >?FD7  
　　tan（-α）= -tanα ;\Z;g9  
K otEN|Y  
　　cot（-α）= -cotα P R44(  
IT<-^N+  
　　公式四： v92D^.&[l;  
$T,Cb3B  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： U.RDQL!A  
eGEhp{(/  
　　sin（π-α）= sinα @BDZa]X'+f  
p ;T:ae?  
　　cos（π-α）= -cosα Li/C+v59  
zA-]F\I:Ye  
　　tan（π-α）= -tanα =mvBxGA +  
T.CB^`4r0  
　　cot（π-α）= -cotα KBD 4O<)  
LT>dM=5?0  
　　公式五： \<CrAcc,  
V_jp%XR  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： JD(F ;"C  
L8<9dKVF  
　　sin（2π-α）= -sinα jJu0$- F  
G'Wd~~O  
　　cos（2π-α）= cosα "P_Ua  
1c{9q6f  
　　tan（2π-α）= -tanα <;-z:Wlg  
LGb]4;i  
　　cot（2π-α）= -cotα 25,L9_a  
]Y+pb)|,  
　　公式六： XeMq WX  
^ 3:`r_{(  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Rwu|0a )%  
1>A2[  
　　sin（π/2+α）= cosα h4Tw<x.  
)aa9C{H`  
　　cos（π/2+α）= -sinα K7+E0E7#>  
;f{qJ   
　　tan（π/2+α）= -cotα TWb 4:  
/1NexH  
　　cot（π/2+α）= -tanα Q8r216a%  
ZI(i g&r  
　　sin（π/2-α）= cosα xK3<:92  
0R~4 U g  
　　cos（π/2-α）= sinα ra}KVJI0  
JQ>_ "06  
　　tan（π/2-α）= cotα T:4dq-R)G  
!}4=Y0*9  
　　cot（π/2-α）= tanα r(y q=]Lt  
u r?Gy e  
　　sin（3π/2+α）= -cosα gS Cq10"]  
9g&P&rA  
　　cos（3π/2+α）= sinα Vt8vu@dP  
v.5|*"  
　　tan（3π/2+α）= -cotα rZ[;Lv v  
<0'@. 6T  
　　cot（3π/2+α）= -tanα [52(M8]3  
^m{)[(&Fmx  
　　sin（3π/2-α）= -cosα *.@-MD (  
m4O%cj$Z  
　　cos（3π/2-α）= -sinα uyYe3$=$  
c e*E#  
　　tan（3π/2-α）= cotα |B:856,V  
o,*Fn/k6e{  
　　cot（3π/2-α）= tanα (l7Z.njk  
!9-1 I]_  
　　(以上k∈Z) IKa0hC   
Xi*"dO  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 M%l[1) n  
(Og<5C++SO  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = m2,&l#W7  
ka23Hs8pr6  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } %)sP"Rv  
x15TE1]%  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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